Elliptische Koordinaten

Umrechnung in Zylinderkoordinaten

Bei der Umrechnung von elliptischen Koordinaten in Zylinderkoordinaten bleibt der Winkel ϕ gleich, die beiden Parameter r und z lassen sich wie folgt berechnen:

r[μ_,λ_]:=(1/2)(Sqrt[((λ^2)-1)(1-(μ^2))]);
z[μ_,λ_]:=((λ μ)/2);

Koordinatenlinien

Es wird hier nur ein Schnitt des Koordinatensystems dargestellt; ϕ sei gleich null.
μ = konst ( = 1,  . . . , 1.5 )
λ= konst ( = -1,  . . . , + 1 )

Show[
ParametricPlot[Table[{z[μ,λ],r[μ,λ]},{μ,1,1.5,.05}],{λ,-1,1},Axes->False,PlotStyle->{Thick,Red}],
ParametricPlot[Table[{z[μ,λ],r[μ,λ]},{λ,-1,1,.1}],{μ,1,1.5},Axes->False,PlotStyle->{Thick,Blue}]
]

Bedeutung der Koordinaten

μ . . .  Summe der Abstände zu den Brennpunkten
λ . . .  Differenz der Abstände zu den Brennpunkten 

Die beiden Koordinaten werden noch durch den halben Abstand zwischen den Brennpunkten dividiert, um dimensionlose Größen zu erhalten.

μ und λ legen einen Punkt in der Halbebene eindeutig fest.

Manipulate[
Module[{r,z},
r[μ_,λ_]:=(1/2)(Sqrt[((λ^2)-1)(1-(μ^2))]);
z[μ_,λ_]:=((λ μ)/2);
Show[
ParametricPlot[{z[μ,λ],r[μ,λ]},{λ,-1,1},Axes->False,PlotStyle->Red],
ParametricPlot[{z[μ,λ],r[μ,λ]},{μ,1,3},Axes->False,PlotStyle->Blue],
Graphics[Disk[{z[μ,λ],r[μ,λ]},.01]],
Graphics[Disk[{-.5,0},.01]],
Graphics[Disk[{.5,0},.01]],
Graphics[{Dashed,Gray,Line[{{.5,0},{z[μ,λ],r[μ,λ]},{-.5,0}}]}],
PlotRange->{{-1.5,1.5},{1,0}},
AspectRatio->1/3,
ImageSize->Large
]
],
{{μ,1.5},1,2},
{{λ,0.5},-1,1}
]